角的概念的推广知识点公式,角的推广知识点总结?

“双减”政策中“减”的是校外补课和作业量,实则要求“增加”课堂教学的质量。 教师需要分析数学知识结构、教材编写结构和学生的认知结构,基于“本质”设计具有结构 化的学习材料,使得教学更具整体性,学生学习更具挑战性,真正用“高质”的教学落实“双 减”政策。本文通过“角的度量”一课研究的教学材料为例,为一线教师在基于数学“本质” 的结构化材料的编制和应用方面提供一些参考。


一、整体关联“找本质”

如果教师缺少整体关联的意识,对教材编排用意没有很好的理解,就难以实现基于“本 质”的教学。知识不能被割裂,需要结合学生的实际学情,并放到整个单元甚至整个领域去 分析,从而明晰概念或方法的本质。

(一)分析学生“明学情”

学生是学习的主体,是疑惑点和困难点产生的源头,也是一切教学活动的中心。放大他 们的疑惑点和困难点,找出其中的根本所在,可以为教学指明方向与路径。下面是“角的度量”一课对学生进行了分析。

1. “找”疑难

在前测过程中,让学生“试着用量角器量出一个角的大小”。在操作中,发现学生普遍存 在三种情况:第一种是无从下手,量角器在手中旋转,就是不知道怎么放;第二种是量角器 的中心点没有与角的顶点重合;第三种是量角器上的内外圈数据混淆严重,部分知道的也是 通过记忆方法,并不知道其中的道理。

2. “揪”问题

分析学生的实际学情可以利用以下步骤进行,从学生的具体错误现象进行成因分析,教 师还要站在执教者的角度,对学生的成因分析进行高度概括,用本质问题加以阐述,也就是 学生学习要解决的最主要的问题。具体分析见下图:

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(二)拓宽挖深“解本质”

1.放宽领域分析教材

纵观小学阶段,角的认识分布在两个学段。二年级上册初步认识角,四年级上册学习角 的度量,教材遵循学生的认知规律,从定性和定量两个层次让学生理解角的意义。这两次认 识虽然时间是分裂开来的,但内容是统一的。

二年级第一次从实物中抽象出角,学生难以排 开边的长度来关注角的大小。到四年级重新定义角的含义,学生才真正能化解“线的无限、 不可量化”和“角的度数的有限、可量化”之间的矛盾。而“角的度量”又进一步让学生用 标准的单位“1 度”来测量,从粗略的感知到细致的刻画,这样一来,学生才能真正理解“一 个角的两边无论怎么延长或缩短,都表示同一个角”。

测量角与测量长度、面积等其他的量既 是属于同一个“度量”体系,又有其特殊之处,比如“内外圈”两圈数据、角的顶点要与量 角器的中心点重合等等。“角的度量”一课是角认识的关键课,为后续“角的分类”、“图形的 再认识”做好铺垫。

2.深入分析抓住本质

要知道教学的本质,可以从学生实际学情的“本质问题”出发,将问题细分,最终聚焦 在其中的“核心问题”上,挖出教学的本质。

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在平时的教学中,很多教师会过分强调量角的方法,“点对点,边对边,角朝左,读外圈, 角朝右,读内圈”,忽略了量角的本质意义。从以上分析可知,有效的教学应让学生明确“量 角”即“找等角”,由此才会明白用量角器上标有刻度的标准角来与被测角的顶点和边分别互 相重合,也就相等了。内外圈数据只是方便读数而已,不是教学的本质,内圈和外圈分别的 对应关系是随着量的角张开两边所在位置而定的,理解了量角即找等角后,自然而然会明白。

二、基于本质“改材料”

理解教学的本质意义后,关键是需要一副好的结构化材料,否则是难以实现这样的教学 目标的。材料的选择非常灵活,要牢牢紧扣教学的“本质”。在实践中不断尝试、改进,使它 更有利于学生的学习。

(一)初试材料,关注整体教学

1. 学习材料

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反馈交流过程:

(1)你们同意哪些量角的方法? 生:同意①②③,不同意④。(有些学生不同意③) (2)为什么?他们分别是怎么量角的? 生:量角器的中心点与角的顶点对齐再量。 (3)③行吗?为什么? 生:110°-60°=50°

(3)除了计算,你还有什么方法知道是 50°? 生:数有几个大格,5 个大格是 50°。

2.材料分析

以上教学片段中,四种有代表性的材料看似比较有结构,错例④号让学生明晰量角的方 法,三种不同的正例①②③号方法凸显量角的本质,自己认为非常满意。为了突出这点,极 力让学生关注被测角与量角器中角的关系。

想通过“为什么量出来都是 50 度?”“50 度还能 怎么看出来?”等问题把学生的关注点从“数据”转移到“刻度”上来,也就是有几个 10° 或者有几个 1°角。教学中,在“观察数据计算度数”和“数有几个标准角”中,学生喜欢 选择前者,由于便捷。

如果强制学生关注有几个标准角,学生切身的感受也不深刻。这样的 材料看似具有结构化,实则没有基于学生的实际情况进行探究量角的本质。如何才能让学生 主动关注刻度角,而不受数据的影响呢?如何让学生明白“量角”即“找等角”呢?这就需要排除数据的干扰,让学生完全关注刻度角。

(二)再试材料,关注本质教学

1.学具主材料的确定

有一种半透明的雪梨纸,可以直接打印需要的量角器。基于此,将量角器上的数据剔除, 把完整量角器变成了只有大格的简易量角器,如左下图所示。 用这样的量角器去量角,在不给刻度的情况下,学生能知道被测角的 度数吗?学生已经知道了直角是 90°,把 90°平均分成 9 份,不难知道每 个大格是 10°。

这样的量角器能够直接让学生只关注刻度,突出量角即找 等角,度数就是数几个十度角的累加。但也有一定的局限性,只能测量整十度的角,不是整 十度的角是不能测量出比较精确的结果的。这些问题需要设计一个大任务,具有一定的挑战 性和趣味性,更能激发学生的学习热情。

2.教学主环节的确定

小组成员在县教研员杨老师的带领下,对“角的度量”这一节课进行了重构。主要环节 如下:

环节一: 引入量角 (不给学生度数,实际∠1=50°,∠2=47°) 比一比∠1 和 ∠2 谁大谁小

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三、基于本质“用材料

(一)“用”材料,“凸”本质

1.排除数据干扰,关注“找等角”

正如上面提到的,学生在使用现成的量角器时,会特别关注“0 刻度线”,受长度测量方 ① ② ③ ④ ⑤ 法的影响,他们会将角的顶点对准“0 刻度线”的一端。在读数时,会受“内外圈”数据的 严重干扰,学生还会受困于“内外圈”如何选择的问题。读数据本身不是本节课的重点,重 点应是“找等角”。如若将数据去掉,学生通过推理,把直角 90°平均分成 9 份,是能知道 每个小角是 10°的。

这样一来,学生自然而然会将注意力集中在“标准角”上,为了知道∠ 1 的大小,只能用累加的“标准角”与被测角比对,达到恰好完全重合的状态来得到角的大 小。在重构的课堂教学中,学生们利用这样的材料直导测量角的本质,还得到了许多不同量 角的方法。 如下图所示:

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如此一来,在不同方法中求得联系,在这些等角中都含有“5 个 10°”,也就是 50°。 数几个“标准角”看似慢而烦的方法,实则却是角的度量的本质。

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2.逐步细化刻度,精准化测量。

随着人类社会的发展,测量单位和工具不断进步,测量也逐渐变得便捷化、精细化,测 量角的过程也是如此。假如测量的标准是 90°,像①号量角器(如下图①),或如日常运用 的三角尺上的直角,它只能精准地测量 90°的角,可以用来判断锐角或钝角,但这只是一个 定性的刻画,并不能知道确切是几度。

如果变成②号这样的量角器(如下图②),标准是 45°, 测量的角就多一些了,能测量 45°、90°和 135°的角了。标准再细分变成 10°,就能精确 地量出整十度数的角。随着标准角的变小,量角的范围渐渐增大。

让学生选择不同标准的角 进行量角的活动,就是在体验不同标准的角只要能与被测角重合,也就能读出角的度数了。

3.破损量角器仍可量角,凸显“量角”本质。

除了完整的量角器,我们还给了学生破损的量角器,一种是刻度不完整的,另一种是没 有中心点的。

在实际教学中发现思维能力较强的学生对这两种材料十分感兴趣,会利用破损 的量角器进行测量。等到学生经历前面渐变精细的量角过程,初步感知了量角的实际意义后, 让学生争辩破损的量角器是否可以量角的问题,在这样的思辨中,进一步突出量角器中只要 能找到一个角与被测角相等的角就可以了。

④号量角器看似破了,实则还是有一个完整的 50° 角,学生的兴趣被激发,完全关注其中的 5 个标准的 10°角(如下图④)。⑤号量角器大多 数学生认为是不能用来量角的,没有中心点,角的顶点就没办法对齐了。但当学生展示时, 我们会惊喜地发现,被测角还是能与这个量角器上的角重合的,边重合,点必会重合(如下 图⑤)。

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随着教学的推进,学生的感知渐渐深入,清楚地意识到“量角”即“找等角”。不完 ① ② 整的量角器,能让学生的学习真正可见。

4.量角的“精细化”过程直导“量角器”的产生。

一切精准的单位都是实际测量的需要,量角也不例外。从测量整十度的∠1 到测量不是 整十度的∠2,是测量标准改变的又一次飞跃。当三号“十度”标准的量角器不能比较精确测 量时,学生想到了再平均分成两份、五份、十份等,需要更小的测量单位。有的说标准改成 “5°”,有的说“2°”,还有的说“1°”。

学生说的更小的标准角其实都可以在特定的时候 使用。在这样的活动中,学生显然已经感知到测量标准的选择是根据实际需要的结果。在多 媒体课件的演示过程中,呈现学生的思考,最终以“1°”标准度量出∠2 的度数是 47°,4 个 10°和 7 个 1°(如下图所示)。将计数单位的“十”变成“一”,10 个“一”度是 1 个“十” 度,完全符合人类习惯运用“十进制”计数的特点。量角器的形成过程可以用以下图示进行 表示:

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“是否可以用∠1 测量∠2?那∠2 测量∠1 呢?”本身两个不相干的角,肯定不行。这 样的问题提出,出乎意料的是学生竟然也能想到了将∠1 平均分成 50 份,每份得到标准角 “1°”,这样一来,∠2 就能在∠1 中找到 47°的角与它重合。但由于∠2 小于∠1,用∠2 来测∠1 不够大,需要再测一次多余部分。

到这里,学生似乎头脑中已经形成一个观念:任 意一个角都能成为一个量角器,只要将它平均分成更小的标准单位。到这里,量角器已经在 学生的头脑中慢慢形成了,最后展示我们经常使用的工具——量角器,内外圈数据只是为了 方便我们读数,知道测量的结果。(二)“说”材料,“理”教学

1.“缺损”材料助推本质教学。

重组后的这节课教学效果非常不错,学生乐于参与其中。重组后的教学材料是真正基于 学生现实的学情,利用不完整的量角器,特别是设计了“缺少数据”和“破损”的量角器这 些材料,能够将“量角器为什么能量角”这个问题给解决了。在小学数学教学中,关于度量 的知识还有很多,同样可以借助类似“缺损”的工具编制材料进行应用,利用这样的材料能 让学生在思辨中理解数学的本质。

2.“逻辑”问题促进有效学习。

基于本质的材料需要有逻辑的问题进行串联,就是要把材料中知识的内在逻辑与学生的 认知逻辑统一起来,通过有逻辑的一系列问题揭示教学内容的数学本质和知识间的结构关系。 从而,促进学生对概念的核心问题、思想方法等有一个整体理解,达到学生有效的学习。

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